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hirschkalb's blog

"I beseech you, in the bowels of Christ, think it possible that you may be mistaken."

反例潰し

~P∨Q ⇔ P→Q という関係(「→」を消去できるかのような操作)がよくわからなかった私のためのメモです。

何がよくわからなかったかというと、「または」の含まれた表現が「ならば」の含まれた表現に変わるところ。どうしてそういうことが言えるのかといったあたり。

いいかえるとこんな疑問です。

P→Q「強いならば勝つ」(わかる)

⇔ ~P∨Q「強くないまたは勝つ」(はい?)

ほかに例をあげるとこんな感じ。

P→Q「ダイエットするならばやせる」(わかる)

⇔ ~P∨Q「ダイエットしないまたはやせる」(はい?)

ダメ押しでもう一つ。

∀x(Ax→Bx)「xが人間ならばxは動物だ」(わかる) 

⇔ ∀x(~Ax∨Bx)「xが人間でないまたはxが動物だ」(んんんwww)

これくらい並べると私の混乱っぷりがある程度つたわるかなと思います。

(混乱した理由)

ヴェン図(習ったときはベン図でしたけど)を想像したとき、Pより大きな空間QがPをすっぽり含んでいる状態をイメージしたこと。このときは、ただ単にPなだけであるケース(P)を、律儀に排除しなければならない(~P)理由がわからなくなりました(「Qと書くだけでよくね?」「QならどのみちPだし」)。

こんな図を想像することになったのはこの記事の影響なのです。

数学/証明 - Wikibooks

(解決編)

もっと普通のヴェン図でかんがえようや(普通……?)ということになりまして。つまり、円が2つあってちゃんと重なっているとこもある、マスターカードのロゴのようなあの図を想像する。

そういう図において、P→Qとはどういうことか。それは、《PなのにQではない》というエリア(P→Qをおびやかすような反例)は存在しない、ということだ。

反例エリアを表現し、それを否定する。

反例エリア P&~Q の否定 ~(P&~Q)

よって ~P∨Q

そういうわけで冒頭の ~P∨Q ⇔ P→Q は 、確かにそうらしいという納得はできたものの、やはり先に上げた3つの日常言語例についてはあいかわらず変な感じが拭えませんね。日常言語でもすんなり了解されなければならない道理はないのでしょうが。

しかし、(少なくとも)ひとつあったのです。日常言語でもすんなり読める例が。『下半身の論理学』(三浦俊彦著、青土社)の付録1における✕♀厨の定義がそうじゃないかなと思います。

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